海龟几何

欧几里得几何谈点、线、角的关系。还有另一种写法，更接近人在地面上走路：让一个带着朝向的点在平面上运动，形状就是它留下的痕迹。

这叫相对几何——你不先给出顶点坐标，而给出「走多远、转几度」。

海龟画图 把这套写法收进一个 模块。在 在线 IDE 里导入之后，画布会出现在编辑区旁边。默认朝向是正东（$0^\circ$）；树和字母 Y 要往上长，起笔先让海龟朝北。

本节课你将学会：forward 与 left 如何成为可执行的几何原语；位置与朝向为何合称状态；以及如何用循环画正方形、用 函数 画字母 Y，并在结束时把姿态还原。

1960 年代，多数人接触计算机仍接近批处理：打孔卡片进机房，隔一段时间取回打印结果。几何若要进入这种机器，通常先被翻译成坐标表。

西摩·帕尔特（Seymour Papert）走了另一条路。他与同事在 Logo 语言里放入一只「海龟」：起初是地板上的真机器人，后来是屏幕上的三角形指针。发出的指令不是「把点画在某格」，而是「沿你正面对的方向走出去，再转向」。

帕尔特受过皮亚杰发生认识论的训练。他关心的不是「画画软件」，而是一个更硬的主张：有些数学思想，只有当你能用自己的身体去扮演它们时，才真正变得可思考。left(90) 不是抽象的旋转矩阵，而是「朝自己的左边转直角」。

Python 标准库里的 turtle 模块，正是向 Logo 致敬。本课用它，不是为了学一套绘图函数清单，而是为了把相对运动变成可以运行的几何。

海龟从两条原语开始：沿当前朝向移动一段距离，以及改变朝向。

import turtle

t = turtle.Turtle()
t.pencolor("#1d385f")
t.forward(80)
t.left(90)
t.forward(80)

第二行造出一只海龟，默认在画布中央附近，朝向正东，笔是落下的。随后：沿朝东走 80，逆时针转直角，再走 80。画布上应出现一条横线，再接一条竖线。可在 在线 IDE 中运行。

常用指令：

backward 不是擦除：它沿来路退回，笔若落下会再描一遍，但位置回到分叉点。left(90) 是相对转角；setheading(90) 是绝对朝向。本课的 Y 用相对转角，是为了让「在当前姿态上再转一点」可以叠层。

海龟在任意时刻的状态，至少包括两件事：位置和朝向。二者合称姿态。

forward 沿朝向平移位置，不改朝向。left 改朝向，不改位置。backward 沿来路退回位置，朝向保持——因此从分叉点走出左枝再 backward，位置回到分叉点，朝向仍偏左。若还要把朝向拧回主干，必须再转一次。位置回家与朝向回家，是两步，不是一步。

函数若声称「画了一个 Y」，却把海龟留在右枝顶端，它交出去的就不是可组合的图形，而是弄脏了工作台。验收一段海龟程序，不只看画布像不像，还要问：跑完之后，海龟停在哪里、面朝哪一边？

正方形可以写成动的：沿当前方向走边长，左转 $90^\circ$，做四遍，并且做完后姿态与出发时相同。循环 比抄四遍更接近问题：形状来自同一条规则的反复执行。

import turtle

t = turtle.Turtle()
t.pencolor("#1d385f")

for _ in range(4):
    t.forward(80)
    t.left(90)

循环变量写成 _，表示计数本身不进入几何。改 80 就改尺度。走完四边后，海龟应回到起点、朝向与出发时相同——外角和为 $360^\circ$，四次 $90^\circ$ 转完，朝向闭合；四次等长前进，位置闭合。

把 range(4) 改成 range(3) 再运行，是一次受控的反例：重复次数不再匹配外角和，过程就不再证明正方形。

Y 可以看成：一根主干，到顶点向左右各伸出一枝。关键不在会不会画线，而在状态：左枝画完若不退回，右枝就会从错误的地方长出来。

1. 沿当前方向画主干；海龟停在分叉点。
2. 左转 $30^\circ$，画较短的左枝，再原路退回；位置对了，朝向仍偏左 $30^\circ$。
3. 右转 $60^\circ$（相对主干是向右 $30^\circ$），画右枝，再退回。
4. 左转 $30^\circ$，朝向恢复，再沿主干退回起点。

为什么右转到 $60^\circ$？因为海龟还停在「朝左 $30^\circ$」上。要从偏左转到偏右，相对自身需要转两角之和。

import turtle

t = turtle.Turtle()
t.left(90)


def draw_y(length):
    t.forward(length)
    t.left(30)
    t.forward(length * 0.7)
    t.backward(length * 0.7)
    t.right(60)
    t.forward(length * 0.7)
    t.backward(length * 0.7)
    t.left(30)
    t.backward(length)


draw_y(80)

draw_y 结束时，海龟回到调用前的位置和朝向。这不是装饰，是接口。下一课要把左右两枝换成更小的树——替换能够成立，前提正是每一层都把自己造成的位移和转角撤回去。

在 在线 IDE 里 import turtle，建立一只海龟，先 left(90) 让它朝北。再用循环走三次：每次前进 80，再左转 $120^\circ$。跑完后它应回到起点，朝向仍朝北。外角三次合计 $360^\circ$，姿态才算还原。

• 海龟默认朝东；向上画先改变朝向。形状是指令的痕迹。帕尔特把几何写成身体可以跟随的过程，是为了让思想可执行。
• 位置与朝向合在一起才是状态。forward 改位置，left 改朝向，backward 退回位置但不自动恢复转过的角。
• 正方形用循环重复「前进 + 转直角」。同一规则执行四次，比四个顶点清单更接近「走一个正方形」。
• 画 Y 时，一枝画完必须退回分叉点，并恢复朝向。把「画一个 Y」写成函数，是为后续递归做准备。