分形

它是什么

分形 是一类图形或对象：把它的一部分放大，仍能看见和整体相像的结构。树冠、海岸线、雪花的边缘，都带有这种自相似。编程里，用同一条规则在更小的尺度上再做一遍，就能逼近这种形状。最简单的教学例子是 Y 型树：每一段枝的末端再分出两段更短的枝，形状仍像一个 Y。

数学理想可以无限精细；屏幕和 海龟 只能画到某一层。有限层的近似仍然叫分形图形。看起来复杂，并不要求程序很长：规则简单、重复多次，正是分形让人惊讶的地方。

名字从哪来

fractal 由本华·曼德博（Benoît Mandelbrot）在 1975 年左右使用，词源是拉丁语 fractus，有「碎裂、不规则」的意思。他想描述那些用传统欧几里得长度很难量准的对象：海岸线量得越细，测到的长度越长。自相似不必完美。自然界的树只是近似；程序里的分形树可以把规则执行得很严格，所以看起来干净，也更容易分析。

分形不只是树。科赫曲线、谢尔宾斯基三角形、巴恩斯利蕨，用的都是「小拷贝拼出大图形」这一想法。自相似也不是对称：左右枝长度可以不同，角度可以不对称，整体仍可以由同一规则生成。

它怎么工作

生成分形，通常要规定：最小尺度停下来（退出条件）、每一层如何缩小和旋转（递归步骤）。用海龟画树时，长度乘以一个小于 1 的比例，层数减 1，再在左右两侧调用同一套动作，见 递归。层数太大，计算量会涨得很快：每一层分叉加倍。这不是机器「突然坏了」，而是问题规模在按指数增长。参数要留在画布和耐心都允许的范围里。

没有递归也可以用 循环 一层层画，但层数一变，代码往往要重写；递归把「层数」收成参数。层数为 0 通常表示「不要再分叉」。这是退出条件，不是错误，除非忘记处理它。

生活里在哪里

树、支气管、河流的支流，罗马花椰菜的小朵，某些山脉和云的边缘轮廓，都呈现近似的自相似。测量海岸线时，尺子越短，量到的长度越长——这不是海岸「变长了」，而是测量尺度进入了更细的弯曲。程序里的分形把这种结构写成可执行的规则，使「复杂形态从短规则中生长」成为可以检验的现象，而不只是一句观感。

和相近概念的差别

分形描述的是对象的结构。递归是生成这种结构时常用的编程手段。海龟是把结构画到平面上的一种几何接口。三者常一起出现在同一份程序里，但分别回答「它长什么样」「如何把问题缩小」「笔如何移动」。

对称是一种特殊情形，不是分形的定义。一份左右不等长的规则仍然可以是分形生成器。把「好看」和「自相似」当成同一个词，会看丢真正被编码的那条规则。

常见误会

误会 1：分形必须无限精细。

数学理想可以无限；屏幕只能画到某一层。有限层的近似仍然是分形图形。

误会 2：看起来复杂，程序就一定很长。

短 函数 可以画出很密的枝。复杂来自重复，不一定来自条款繁多。

误会 3：层数设为 0 还会画出一棵完整的树。

0 通常表示「不要再分叉」。把叶子画在退出条件里可以，但不要在那里再调用自己。

想知道更多

• 书：布鲁克希尔《计算机科学概论》
• 书：艾伦·唐尼《像计算机科学家一样思考Python（第2版）》
• 书：埃里克·马瑟斯《Python编程：从入门到实践（第3版）》