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递归与分形

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第 12 课

递归与分形：自相似如何被计算

复杂形态可以从短规则中生长。

罗马花椰菜
罗马花椰菜（Brassica oleracea）的自相似形态。Ivar Leidus。来源：Wikimedia Commons，CC BY-SA 4.0。

导言

课程目标

分形：整体像局部。

递归：函数调用自己。

停下来，并且回到原位。

现象

每一朵都像整棵的缩影

罗马花椰菜
罗马花椰菜（Brassica oleracea）的自相似形态。Ivar Leidus。来源：Wikimedia Commons，CC BY-SA 4.0。

同一条生长规则，不同的尺度。

原理

复杂来自规则的深度

篇幅短，不等于形态简单。

层数加一，枝条大约加倍。

辨析

递归不是另一种循环

循环：同一层，重复 kk 遍。

递归：新的执行，更小的同类问题。

原理

退出条件是尺度选择

n=0n = 0：此处不再生长。

没有退出条件，规则未写完。

例证

从 draw_y 到 draw_tree

python
def draw_tree(length, n):
    if n == 0:
        return
    t.forward(length)
    t.left(30)
    draw_tree(length * 0.7, n - 1)
    t.right(60)
    draw_tree(length * 0.7, n - 1)
    t.left(30)
    t.backward(length)

请打开「在线 IDE」。先跑 n=2。

例证

n = 1 就是一个 Y

两次内层调用立刻返回。

nn 增大，Y 的两臂上再长出 Y。

辨析

漏掉后退，树就断了

内层不还原，外层接到叶尖上。

错误按层数放大。

那不是画风，是模型断裂。

实践

本节练习

先朝北，调用 draw_antenna(80, 3)。

左转 45∘45^\circ，长度乘 0.6。

n == 0 返回；结束时仍朝北、停在起点。

请打开「在线 IDE」。

小结

本节要点

自相似是过程的性质。

递归必须有退出条件。

画完子树，送海龟回家。

下一课

下一课

软件工程。

模块化、分层、测试、框架与版本。

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